Question

2．某校從高一年級學生中隨機抽取100名學生，將他們期中考試的數學成績（均為整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到頻率分布直方圖（如圖所示），
（1）求分數在[70，80）中的人數；
（2）若用分層抽樣的方法從分數在[40，50）和[50，60）的學生中共抽取5 人，該5 人中成績在[40，50）的有幾人；
（3）在（2）中抽取的5人中，隨機抽取2 人，求分數在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖先求出分數在[70，80）內的概率，由此能求出分數在[70，80）中的人數．
（2）分數在[40，50）的學生有10人，分數在[50，60）的學生有15人，由此能求出用分層抽樣的方法從分數在[40，50）和[50，60）的學生中共抽取5 人，抽取的5人中分數在[40，50）的人數．
（3）用分層抽樣的方法從分數在[40，50）和[50，60）的學生中共抽取5 人，抽取的5人中分數在[40，50）的有2人分數在[50，60）的有3人，由此利用等可能事件概率計算公式能求出分數在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖知小長方形面積為對應區間概率，
所有小長方形面積和為1，因此分數在[70，80）內的概率為：
1-（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，
∴分數在[70，80）中的人數為：0.3×100=30人．…5分
（2）分數在[40，50）的學生有：0.010×10×100=10人，
分數在[50，60）的學生有：0.015×10×100=15人，
用分層抽樣的方法從分數在[40，50）和[50，60）的學生中共抽取5 人，
抽取的5人中分數在[40，50）的人有：5×$\frac{10}{10+15}$=2人．…9分
（3）分數在[40，50）的學生有10人，分數在[50，60）的學生有15人，
用分層抽樣的方法從分數在[40，50）和[50，60）的學生中共抽取5 人，
抽取的5人中分數在[40，50）的有2人分數在[50，60）的有3人，
5人中隨機抽取2 人共有n=${C}_{5}^{2}$=10種可能，
分別在不同區間上有m=${C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}$=6種可能．
所以分數在[40，50）和[50，60）各1 人的概率$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．…14分．

點評 本題考查頻率分布直方圖、分層抽樣的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．