Question

（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若二面角為，求直線與平面所成角的正切值.

（Ⅲ）若，求平面與平面PAB所成的銳二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）2；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明CE⊥AB，即證AB⊥CE，根據已知條件容易想到取AB中點F，連接EF，CF，便可得到AB⊥EF，AB⊥CF，所以AB⊥平面CEF，所以AB⊥CE；

（Ⅱ）根據二面角的平面角的定義，以及線面垂直的判定定理及性質可知∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，所以∠PDA=45°，所以PA=AD，并且由（Ⅰ）知∠CEF為CE與平面PAB所成的角，所以根據PA=AD即可求出tan∠CEF；

（Ⅲ）要求平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值，需先找出這個二面角的平面角，先找平面PAB和平面PCD的交線，因為P點是這兩個平面的公共點，所以交線過P點，并且發現，過P作平行于AB的直線PG，也平行于CD，所以PG是這兩個平面的交線．并且容易說明PA⊥PG，PD⊥PG，所以∠DPA是平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的平面角，因為PA=kAB=kAD，

所以這樣即可求出cos∠DPA=．

試題解析：（Ⅰ）如下圖，取AB的中點F，連結EF，FC，

則.

因為平面，

所以平面.

因為平面，

所以.

因為，

所以.

因為平面，平面，

所以平面.

因為平面，

所以.

（Ⅱ）因為平面， 平面，

所以.

因為，

所以平面.

所以.

所以為二面角的平面角.

所以.

所以.

因為，

所以.

由（Ⅰ）知，為與平面所成的角.

因為，

所以直線與平面所成角的正切值為2.

（Ⅲ）過點作，

由平面，，

由平面，， ，

為所求銳二面角的平面角.

考點：線面垂直的性質；線面垂直的判定定理；二面角、二面角的平面角及線面角的概念；以及求二面角的平面交點方法．