Question

6．已知函數f（x）=|2x+a|+|2x-b|（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=1，b=2，求不等式f（x）＞5的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為1，求$\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對x取值范圍的討論，去掉絕對值符號，解相應的一次不等式，最后取并集即可求得不等式f（x）＞5的解集；
（Ⅱ）利用絕對值不等式的幾何意義，可得f（x）_min=a+b=1，從而利用基本不等式可求$\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）＞5?|2x+1|+|2x-2|＞5
$?\left\{\begin{array}{l}2x＜-1\\-4x+1＞5\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1≤2x≤2\\ 2x+1-（2x-2）＞5\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}2x＞2\\ 4x-1＞5\end{array}\right.$…（3分）
?x＜-1，或$x＞\frac{3}{2}$…（5分）
所以不等式f（x）＞5的解集為{x|x＜-1，或$x＞\frac{3}{2}\}$…（6分）
（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，
∴f（x）=|2x+a|+|2x-b|≥|（2x+a）-（2x-b）|=|a+b|=a+b
當且僅當$-\frac{a}{2}≤x≤\frac{b}{2}$時取等號∴f（x）的最小值為a+b，從而a+b=1…（8分）
∴$\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}=（\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}）（a+b）=\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2+2=4$…（10分）
當且僅當$a=b=\frac{1}{2}$時取等號∴$\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}$的最小值為4…（12分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，對x取值范圍分類討論，去掉絕對值符號是解不等式的關鍵，考查絕對值不等式的幾何意義及應用，屬于中檔題．