Question

在△ABC中，∠C=2∠A，a+c=10，cosA=

3

4

，求b．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形

分析：由∠C=2∠A，cosA=

3

4

，可得sinA=

1-cos2A

，sinC=sin2A=2sinAcosA.cosC=±

1-sin2C

．又cosB=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）．由正弦定理可得：

a

sinA

=

c

sinC

，可得

a

c

=

2

3

，又a+c=10，解得a，c．利用余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB．

解答： 解：∵∠C=2∠A，cosA=

3

4

，
∴sinA=

1-cos2A

=

7

4

，
sinC=sin2A=2sinAcosA=2×

3

4

×

7

4

=

3 7

8

．
∴cosC=±

1-sin2C

=±

1

8

．
∴cosB=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）=-

9

16

或-

3

4

．
由正弦定理可得：

a

sinA

=

c

sinC

，
∴

a

c

=

7 4

3 7 8

=

2

3

，
又a+c=10，解得a=4，c=6．
∴b²=a²+c²-2accosB=79或88．
∴b=

79

或2

22

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和差余弦公式，考查了推理能力月計(jì)算能力，屬于中檔題．