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14.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且$\sqrt{3}$ccos A=(2b-$\sqrt{3}$a)cosC.
(1)求角C;
(2)若A=$\frac{π}{6}$,△ABC的面積為$\sqrt{3}$,D為AB的中點,求sin∠BCD.

分析 (1)由正弦定理,三角形內角和定理,兩角和的正弦函數公式化簡已知可得:2sinBccosC=$\sqrt{3}$sinB,由sinB≠0,可求cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,結合C的范圍可求C的值.
(2)利用三角形內角和定理可求B,利用三角形面積公式可求a,在△DBC中,利用余弦定理可求CD,在△DBC中,由正弦定理可得sin∠BCD的值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)在△ABC中,∵$\sqrt{3}$ccos A=(2b-$\sqrt{3}$a)cosC,可得:2bccosC=$\sqrt{3}$(ccosA+acosC),
∴由正弦定理可得:2sinBccosC=$\sqrt{3}$(sinCcosA+sinAcosC)=$\sqrt{3}$sinB,
∵sinB≠0,
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵0<C<π,
∴C=$\frac{π}{6}$…6分
(2)∵A=$\frac{π}{6}$,C=$\frac{π}{6}$,可得:△ABC為等腰三角形,B=$\frac{2π}{3}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$a2sinB=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$,
∴a=2,
∴在△DBC中,由余弦定理可得:CD2=DB2+BC2-2DB•BCcosB=7,可得:CD=$\sqrt{7}$,
在△DBC中,由正弦定理可得:$\frac{CD}{sinB}=\frac{DB}{sin∠BCD}$,即:$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{sin∠BCD}$,
∴sin∠BCD=$\frac{\sqrt{21}}{14}$…12分

點評 本題主要考查了正弦定理,三角形內角和定理,兩角和的正弦函數公式,三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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4.如圖是某企業2010年至2016年污水凈化量(單位:噸)的折線圖.

注:年份代碼1~7分別對應年份2010~2016.
(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y和t的關系,請用相關系數加以說明;
(2)建立y關于t的回歸方程,預測2017年該企業污水凈化量;
(3)請用數據說明回歸方程預報的效果.
附注:參考數據:$\overline{y}$=54,$\sum_{i=1}^{7}$(ti-$\overline{t}$)(yi-$\overline{y}$)=21,$\sqrt{14}$≈3.74,$\sum_{i=1}^{7}$(yi-$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$ )2=$\frac{9}{4}$.
參考公式:相關系數r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})^{2}\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$,回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{a}$+$\stackrel{∧}{b}$t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$.
反映回歸效果的公式為R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}$,其中R2越接近于1,表示回歸的效果越好.

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