Question

設F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且=2，=0；
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲線C上除去原點外的不同三點，且，，成等差數列，當線段AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出N的坐標，確定，的坐標，利用=0，可得點N的軌跡C的方程；
（2）先確定線段AD的垂直平分線的斜率、AD的斜率，可得方程，利用點B在拋物線上，即可求得點B的坐標．
解答：解：（1）設N（x，y），由=2，得點P為線段MN的中點，∴P（0，），M（-x，0），
∴=（-x，-），=（1，-）．
由=-x+=0，得y²=4x．
即點N的軌跡方程為y²=4x．
（2）由拋物線的定義，知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，|DF|=x₃+1，
∵，，成等差數列，
∴2x₂+2=x₁+1+x₃+1，即x₂=．
∵線段AD的中點為（，），且線段AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0），
∴線段AD的垂直平分線的斜率為k=．
又k_AD=，∴•=-1，
即=-1．
∵x₁≠x₃，∴x₁+x₃=2，又x₂=，∴x₂=1．
∵點B在拋物線上，
∴B（1，2）或（1，-2）．
點評：本題考查軌跡方程，考查等差數列，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．