Question

（2004•河西區一模）設F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且

MN

=2

MP

，

PM

⊥

PF

．
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲線C上的點，且|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數列，當AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據

MN

=2

MP

，可得P為MN的中點，利用

PM

⊥

PF

，可得

PM

•

PF

=0，從而可得點N的軌跡C的方程；
（2）先根據拋物線的定義可知|

AF

|=x1+

p

2

，|

BF

|=x2+

p

2

，|

DF

|=x3+

p

2

，利用|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數列，可得x₁+x₃=2x₂，確定AD的中垂線方程，利用AD的中點在直線上，即可求得點B的坐標．

解答：解：（1）設N（x，y），則由

MN

=2

MP

得P為MN的中點，
所以M(-x，0)，P(0，

y

2

)…（1分）
又

PM

⊥

PF

，∴

PM

•

PF

=0
∵

PM

=(-x，-

y

2

)，

PF

=(1，-

y

2

)，…（3分）
∴y²=4x（x≠0）…（5分）
（2）由（1）知F（1，0）為曲線C的焦點，由拋物線定義知拋物線上任一點P₀（x₀，y₀）到F的距離等于其到準線的距離，即|P0F|=x0+

p

2

…（6分）
故|

AF

|=x1+

p

2

，|

BF

|=x2+

p

2

，|

DF

|=x3+

p

2

，
又|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數列
∴x₁+x₃=2x₂…（7分）
∵直線AD的斜率KAD=

y3-y1

x3-x1

=

y3-y1

y 2 3 4 - y 2 1 4

=

4

y1+y3

…（9分）
∴AD的中垂線方程為y=-

y1+y3

4

(x-3)…（10分）
又AD的中點(

x1+x3

2

，

y1+y3

2

)在直線上，代入上式，得

x1+x3

2

=1⇒x2=1…（11分）
故所求點B的坐標為（1，±2）…（12分）

點評：本題考查求軌跡方程，考查向量知識的運用，考查數列知識，解題的關鍵是用好向量，挖掘隱含，屬于中檔題．