Question

設(shè)F（1，0），點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，且．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲線C上的點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E（3，0）時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，可得P為MN的中點(diǎn)，利用，可得，從而可得點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）先根據(jù)拋物線的定義可知，利用成等差數(shù)列，可得x₁+x₃=2x₂，確定AD的中垂線方程，利用AD的中點(diǎn)在直線上，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)N（x，y），則由得P為MN的中點(diǎn)，
所以…（1分）
又，∴
∵，…（3分）
∴y²=4x（x≠0）…（5分）
（2）由（1）知F（1，0）為曲線C的焦點(diǎn)，由拋物線定義知拋物線上任一點(diǎn)P（x，y）到F的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即…（6分）
故，
又成等差數(shù)列
∴x₁+x₃=2x₂…（7分）
∵直線AD的斜率…（9分）
∴AD的中垂線方程為…（10分）
又AD的中點(diǎn)在直線上，代入上式，得…（11分）
故所求點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，±2）…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查求軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)列知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用好向量，挖掘隱含，屬于中檔題．