Question

設F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且

MN

=2

MP

，

PM

•

PF

=0；
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲線C上除去原點外的不同三點，且

|AF|

，

|BF|

，

|DF|

成等差數列，當線段AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標．

Answer 1

分析：（1）設出N的坐標，確定

PM

，

PF

的坐標，利用

PM

•

PF

=0，可得點N的軌跡C的方程；
（2）先確定線段AD的垂直平分線的斜率、AD的斜率，可得方程，利用點B在拋物線上，即可求得點B的坐標．

解答：解：（1）設N（x，y），由

MN

=2

MP

，得點P為線段MN的中點，∴P（0，

y

2

），M（-x，0），
∴

PM

=（-x，-

y

2

），

PF

=（1，-

y

2

）．
由

PM

•

PF

=-x+

y2

4

=0，得y²=4x．
即點N的軌跡方程為y²=4x．
（2）由拋物線的定義，知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，|DF|=x₃+1，
∵

|AF|

，

|BF|

，

|DF|

成等差數列，
∴2x₂+2=x₁+1+x₃+1，即x₂=

x1+x3

2

．
∵線段AD的中點為（

x1+x3

2

，

y1+y3

2

），且線段AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0），
∴線段AD的垂直平分線的斜率為k=

y1+y3 2

x1+x3 2 -3

．
又k_AD=

y3-y1

x3-x1

，∴•

y3-y1

x3-x1

•

y1+y3

x1+x3-6

=-1，
即

4x3-4x1

(x32-x12)-6(x3-x1)

=-1．
∵x₁≠x₃，∴x₁+x₃=2，又x₂=

x1+x3

2

，∴x₂=1．
∵點B在拋物線上，
∴B（1，2）或（1，-2）．

點評：本題考查軌跡方程，考查等差數列，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．