Question

9．已知在同一平面上的三個單位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，它們相互之間的夾角均為120°，且$|{k\overrightarrow a+2\overrightarrow b+\overrightarrow c}|-m＞0$恒成立，則實數m的取值范圍是-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$m＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用在同一平面上的三個單位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，它們相互之間的夾角均為120°，且$|{k\overrightarrow a+2\overrightarrow b+\overrightarrow c}|-m＞0$恒成立，k²-3k+3-m²＞0恒成立，結合根的判別式，即可得出結論．

解答 解：∵在同一平面上的三個單位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，它們相互之間的夾角均為120°，且$|{k\overrightarrow a+2\overrightarrow b+\overrightarrow c}|-m＞0$恒成立
∴k²+4+1-2k-k-2＞m²恒成立，
∴k²-3k+3-m²＞0恒成立，
∴△=9-4（3-m²）＜0
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$m＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故答案為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$m＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的運算，求向量的模，屬于中檔題．