Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，在橢圓上的所有點到右焦點的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1，則橢圓的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
• C． x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• D． x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 由橢圓的離心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a=$\sqrt{2}$c，根據橢圓的性質可知，當點在左頂點時，點到右焦點的距離的最大值，即a+c=$\sqrt{2}$+1，即可求得a和c的值，由b²=a²-c²，求得橢圓方程．

解答 解：有題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$c，
由橢圓上的所有點到右焦點的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1，
當點在左頂點時，點到右焦點的距離的值最大：
∴a+c=$\sqrt{2}$+1，
解得：a=$\sqrt{2}$，c=1，
由b²=a²-c²=1，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
故選：A．

點評 本題考查橢圓的標準，考查橢圓的簡單幾何性質，考查轉化思想，屬于基礎題．