Question

如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點F₁、F₂，它們在第一象限的交點為A，且AF₁⊥AF₂，∠AF₁F₂=30°，則橢圓與雙曲線的離心率的倒數和為（　�。�

• A、2

  3

• B、

  3

• C、2
• D、1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：運用橢圓和雙曲線的定義，結合離心率公式和解直角三角形的有關知識，化簡計算即可得到．

解答： 解：由橢圓的定義，可得，AF₁+AF₂=2a₁，
由雙曲線的定義，可得，AF₁-AF₂=2a₂，
在直角△AF₁F₂中，∠AF₁F₂=30°，
則AF₂=

1

2

F₁F₂=c，AF₁=

3

2

F₁F₂=

3

c，
則有2a₁=（

3

+1）c，2a₂=（

3

-1）c，
則離心率e₁=

c

a1

=

2

3 +1

，e₂=

c

a2

=

2

3 -1

，
即有

1

e1

+

1

e2

=

3 +1

2

+

3 -1

2

=

3

．
故選B．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質：離心率，考查運算能力，屬于中檔題．