Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₂與a₁₀的等差中項是-4，且a₁•a₆=14．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設f（n）=

2Sn-2an

n

（n∈N₊），求f（n）最小值及相應的n的值．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據等差中項的性質、等差數列的通項公式，求出a₁、公差d，代入通項公式求出a_n；
（Ⅱ）由等差數列的前n項和公式求出S_n，代入f（n）=

2Sn-2an

n

化簡后，利用基本不等式求出f（n）最小值及相應的n的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₂與a₁₀的等差中項是-2，
∴a₆=

1

2

（a₂+a₁₀）=-2，…（2分）
∵a₁•a₆=14，∴a₁=-7，…（4分）
∴公差d=

a6-a1

6-1

=1，
則a_n=-7+（n-1）=n-8．…（6分）
（Ⅱ）∵a₁=-7，a_n=n-8，∴Sn=

n(-7+n-8)

2

=

1

2

n2-

15

2

n…（8分）
∴f（n）=

2Sn-2an

n

=

n2-15n-2(n-8)

n

=n+

16

n

-17≥2

n• 16 n

-17=-9…（11分）
當且僅當n=

16

n

即n=4時取等號，
故當n=4時，所求最小值為-9…（13分）

點評：本題考查等差中項的性質，等差數列的通項公式、前n項和公式，以及基本不等式的應用，屬于中檔題．