Question

已知：直線l：ax-y+4=0，圓C與x軸相切于點(diǎn)A（1，0），且過(guò)B（1+

3

，3）
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l與圓C相切，求a的值；
（3）若直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2

3

，a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）利用已知條件設(shè)出圓的方程，然后求出圓的半徑，即可得到圓C的方程；
（2）利用圓心到直線的距離等于半徑，列出方程求a的值；
（3）直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2

3

，利用圓心距與半徑，半弦長(zhǎng)滿足勾股定理列出方程即可求解a的值．

解答： 解：（1）設(shè)圓的方程為：（x-1）²+（y-r）²=r²，r是圓的半徑，
由題意可知B（1+

3

，3）在圓上：（

3

）²+（3-r）²=r²，解得r=2，
所求圓的分方程為：（x-1）²+（y-2）²=4．
（2）因?yàn)橹本�l：ax-y+4=0與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，
于是：2=

|a-2+4|

a2+1

，解得a=0或a=

4

3

．
（3）弦AB的長(zhǎng)為2

3

，由r=2可得，弦心距d²=r²-(

AB

2

)2，從而解得d=1，
d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

，代入數(shù)據(jù)可得：
1=

|a-2+4|

a2+1

解得a=-

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓心到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基本知識(shí)的考查．