Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意x∈（0，+∞）的，都有f[f（x）-lnx]=1，則函數(shù)g（x）=e^x-f（x）+1的最小值必在區(qū)間（　　）

• A、(

  5

  2

  ，3)
• B、(2，

  2

  5

  )
• C、（1，2）
• D、(

  1

  2

  ，1)

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用f（x）是定義在（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=1，求出f（x）=1+lnx，再求導(dǎo)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)f（x）-lnx=m，則f（m）=1，
∴1-lnm=m，∴m=1，
∴f（x）=1+lnx，
∴g（x）=e^x-f（x）+1=e^x-lnx，
∴g′（x）=e^x-

1

x

，
∵g′（

1

2

）＜0，g′（1）＞0，
∴函數(shù)g（x）=e^x-f（x）+1的最小值必在區(qū)間（

1

2

，1）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．