Question

【題目】△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c且滿足（2a﹣c）cosB=bcosC，
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面積為為 且b= ，求a+c的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：又A+B+C=π，即C+B=π﹣A，

∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，

將（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，

在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB= ，又0＜B＜π，則B=

（2）解：∵△ABC的面積為 ，sinB=sin = ，

∴S= acsinB= ac= ，∴ac=3，又b= ，cosB=cos = ，

∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣9=3，

∴（a+c）2=12，則a+c=2

【解析】（1）結合三角形的內角和定理及誘導公式可得sin（C+B）=sinA，再對已知（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡可求B（2）結合三角形的面積公式S= acsinB，可求ac，由已知b，B，再利用余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB可求a+c