Question

15．在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4）
（Ⅰ）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA，求直線l的方程；
（Ⅱ）設點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得四邊形ATPQ為平行四邊形，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可設直線l方程為：y=2x+b，可得圓心M（6，7）到直線l的距離為d=$\sqrt{{r}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}=2\sqrt{5}$，即$\frac{2×6-7+b}{\sqrt{{1}^{1}+{2}^{2}}}=±2\sqrt{5}$，解得b．可得直線l的方程；
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），（x₂，y₂），由平行四邊形的對角線互相平分，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{1}+2-t}\\{{y}_{2}={y}_{1}+4}\end{array}\right.$，（x₁-t-4）²+（y${\;}_{1}-3）^{2}$²=25，于是點P（x₁，y₁）既在圓M上，又在圓（x-t-4）²+（y-3）²=25上，從而圓（x-6）²+（y-7）²=25與圓（x-t-4）²+（y-3）²=25上有公共點，即可求解．

解答 解：（Ⅰ）∵k_OA=$\frac{4-0}{2-0}=2$，故平行于OA的直線l方程為：y=2x+b
∵$BC=OA=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，∴圓心M（6，7）到直線l的距離為d=$\sqrt{{r}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}=2\sqrt{5}$
即$\frac{2×6-7+b}{\sqrt{{1}^{1}+{2}^{2}}}=±2\sqrt{5}$，解得b=5或-15
故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），（x₂，y₂），因為平行四邊形的對角線互相平分，所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{1}+2-t}\\{{y}_{2}={y}_{1}+4}\end{array}\right.$ …①
因為點Q在圓M上，所以（x₂-6）²+（y₂-7）²=25…．②
將①代入②，得（x₁-t-4）²+（y${\;}_{1}-3）^{2}$²=25．
于是點P（x₁，y₁）既在圓M上，又在圓（x-t-4）²+（y-3）²=25上，
從而圓（x-6）²+（y-7）²=25與圓（x-t-4）²+（y-3）²=25上有公共點，
所以 $5-5≤\sqrt{[（t+4）-6]^{2}+（3-7）^{2}}≤5+5$解得2-2$\sqrt{21}$$≤t≤2+2\sqrt{21}$．
因此，實數t的取值范圍是[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．

點評 題考查圓的標準方程的求法，考查直線方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．