Question

5．已知下列四個命題：
①函數f（x）=$\frac{1}{3}$x-lnx（x＞0），則y=f（x）在區間（$\frac{1}{e}$，1）內無零點，在區間（1，e）內有零點；
②函數f（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x^2}}$），g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$不都是奇函數；
③若函數f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，則f（7）=-2；
④設x₁、x₂是關于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則x₁x₂=1，
其中正確命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 判斷函數零點位置，可判斷①；判斷函數奇偶性，可判斷②；分析函數的對稱性和周期性，可判斷③；根據對數的運算性質，可判斷④．

解答 解：①函數f（x）=$\frac{1}{3}$x-lnx（x＞0），
則y=f（x）在區間（$\frac{1}{e}$，1）內f（x）＞0恒成立，此時函數無零點，
f（1）f（e）＜0，故在區間（1，e）內有零點；
故①正確；
②函數f（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x^2}}$）定義域為R，關于原點對稱，
f（-x）+f（x）=log₂（-x+$\sqrt{1+{x^2}}$）+log₂（x+$\sqrt{1+{x^2}}$）=log₂1=0，
即f（-x）=-f（x），故為奇函數；
g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
g（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{1-2}^{x}}$=-g（x），故為奇函數；
故②錯誤；
③若函數f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，
則f（1）=-f（3）=f（5）=-f（7），
∴f（7）=-2；
故③正確；
④設x₁、x₂是關于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則log_ax₁=-log_ax₂，
即log_ax₁+log_ax₂=log_ax₁x₂=0，即x₁x₂=1，
故④正確；
故答案為：①③④．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數的零點，函數的奇偶性，函數求值，對數函數的圖象和性質等知識點，難度中檔．