Question

圓x²+y²=8內一點P（-1，2）．過點P的直線的傾斜角為α，直線l交圓于A、B兩點．
（Ⅰ）當α=135°時，求AB的長；（tan135°=-1）
（Ⅱ）當弦AB被點P平分時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）根據題意，直線AB的方程為x+y-1=0，由點到直線的距離公式算出圓心（0，0）到AB的距離，再由垂徑定理即可求出弦AB的長；
（II）由圓的幾何性質，得弦AB被點P平分時OP與AB互相垂直．因此先算出OP斜率，從而得到AB的斜率，利用直線的點斜式方程列式，即可求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）當α=135°時，k_AB=-1，得直線AB的方程為y-2=-（x+1），（2分）
∴直線AB方程為x+y-1=0．
故圓心（0，0）到AB的距離d=

|0+0-1|

2

=

2

2

，（4分）
從而得到弦長|AB|=2

8- 1 2

=

30

．（6分）
（Ⅱ）∵圓x²+y²=8的圓心為O（0，0），P（-1，2）
∴由直線的斜率公式算出OP的斜率k_op=-2，
又∵弦AB被點P平分，可得OP與AB互相垂直
∴直線AB的斜率kAB=

-1

kOP

=

1

2

，（9分）
因此，直線l的方程為y-2=

1

2

（x+1），化簡得x-2y+5=0．（12分）

點評：本題給出直線方程，求直線被圓截得的弦長，并探討圓的中點弦的問題．著重考查了直線的斜率、點到直線的距離求法和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．