Question

已知正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且滿(mǎn)足a₁+a₅=

2

7

a

2 3

，S7=63．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=a₁且b_n+1-b_n=a_n+1，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件建立方程組，通過(guò)解方程求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）首先利用疊加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．

解答： 解：（Ⅰ）法一：設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，a_n＞0
則

a1+a1+4d= 2 7 (a1+2d)2 7a1+21d=63

，
得

a1=3 d=2

∴a_n=2n+1
法二：∵{a_n}是等差數(shù)列且a1+a5=

2

7

a32，∴2a3=

2

7

a32，
又∵a_n＞0∴a₃=7．…（2分）∵S7=

7(a1+a7)

2

=7a4=63∴a4=9，
∴d=a₄-a₃=2，∴a_n=a₃+（n-3）d=2n+1．   
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=a_n+1且a_n=2n+1，
∴b_n+1-b_n=2n+3
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（2n+1）+（2n-1）+…+5+3=n（n+2），
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=3滿(mǎn)足上式，b_n=n（n+2）
∴

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)

∴Tn= 1 b1 + 1 b2 +…+ 1 bn-1 + 1 bn = 1 2 [(1- 1 3 )+( 1 2 - 1 4 )+( 1 3 - 1 5 )…+( 1 n-1 - 1 n+1 )+( 1 n - 1 n+2 )]

=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題型．