Question

若以曲線y=f（x）上任意一點M（x₁，y₁）為切點作切線l₁，曲線上總存在異于M的點N（x₂，y₂），以點N為切點作切線l₂，且l₁∥l₂，則稱曲線y=f（x）具有“可平行性”．現有下列命題：
①函數y=（x-2）²+lnx的圖象具有“可平行性”；
②定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函數y=f（x）的圖象都具有“可平行性”；
③三次函數f（x）=x³-x²+ax+b具有“可平行性”，且對應的兩切點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的橫坐標滿足x₁+x₂=

2

3

；
④要使得分段函數f（x）=

x+ 1 x (m＜x) ex-1(x＜0)

的圖象具有“可平行性”，當且僅當實數m=1．其中的真命題是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,簡易邏輯

分析：根據導數的幾何意義，將定義轉化為：“方程y′=a（a是導數值）至少有兩個根”，利用：y′=-4+2

2

時，x的取值唯一判斷①不符合；對于②，由可導奇函數的導數為偶函數判斷；對于③，求出導數列出方程化簡后判斷；對于④，由兩分段函數的導數的值域相等求得滿足條件的m值判斷．

解答： 解：由“可平行性”的定義，可得曲線y=f（x）具有“可平行性”，則方程y′=a（a是導數值）至少有兩個根．
①函數y=（x-2）²+lnx，則y′=2(x-2)+

1

x

=

2x2-4x+1

x

（x＞0），方程

2x2-4x+1

x

=a，即2x²-（4+a）x+1=0，當a=-4+2

2

時有兩個相等正根，不符合題意；
②定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函數，其導函數為偶函數，當x≠0時，f′（x）=a都有互為相反數的兩個根，y=f（x）的圖象都具有“可平行性”正確；
③三次函數f（x）=x³-x²+ax+b，則f′（x）=3x²-2x+a，方程3x²-2x+a-m=0在（-2）²-12（a-m）≤0時不滿足方程y′=a（a是導數值）至少有兩個根．命題③錯誤；
④函數y=e^x-1（x＜0），y′=e^x∈（0，1），
函數y=x+

1

x

，y′=1-

1

x2

=

x2-1

x2

=1-

1

x2

，由1-

1

x2

∈(0，1)，得

1

x2

∈(0，1)，∴x＞1，則m=1．
故要使得分段函數f（x）=

x+ 1 x (m＜x) ex-1(x＜0)

的圖象具有“可平行性”，當且僅當實數m=1，④正確．
∴正確的命題是②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查了導數的幾何意義，關鍵是將定義正確轉化為：曲線上至少存在兩個不同的點，對應的導數值相等，綜合性較強，考查了轉化思想．