Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+1在x=-1處取得極大值，在x=3處取極小值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式并指出其單調區間；
（Ⅱ）討論方程f（x）=k的實根的個數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,數形結合,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數，由條件可知f′（x）=0的兩根分別為x=-1或x=3，運用韋達定理，求得a，b，進而得到f（x）的解析式，求出單調區間即可；
（Ⅱ）求出極值，在同一坐標系內分別作y=f（x）和y=k的大致圖象，通過圖象觀察交點個數，即可得到實根的個數．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知f′（x）=x²+2ax+b，f′（x）=0的兩根分別為x=-1或x=3．
則有

-1+3=-2a -1×3=b

，解得，a=-1，b=-3．
則f（x）=

1

3

x³-x²-3x+1，
由題意知函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（3，+∞），
遞減區間為（-1，3）．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的分析知，函數f（x）的極大值為f（-1）=

8

3

，
極小值為f（3）=-8．
在同一坐標系內分別作y=f（x）和y=k的大致圖象．
則當k=

8

3

或k=-8時，原方程有且僅有兩個不相等的實數根；
當k＜-8或k＞

8

3

時，原方程有且僅有一個不相等的實數根；
當-8＜k＜

8

3

時，原方程有且僅有三個不相等的實數根．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間和求極值，考查函數方程的轉化思想，以及數形結合的思想方法，屬于中檔題．