Question

7．已知命題p：?x∈R，x²+1≥m；命題q：方程$\frac{x^2}{m-2}+\frac{y^2}{m+2}=1$表示雙曲線．
（1）若命題p為真命題，求實數m的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p為真命題，則（x²+1）_min≥m，進而得到實數m的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則p，q一個為真命題，一個為假命題，進而得到答案．

解答 解：（1）對于任意x∈R，x²+1≥1，
若命題p為真命題，則（x²+1）_min≥m，所以m≤1；…（5分）
（2）若命題q為真命題，則（m-2）（m+2）＜0，所以-2＜m＜2，…（8分）
因為命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，
則p，q至少有一個假命題，所以p，q一個為真命題，一個為假命題．…（10分）
當命題p為真命題，命題q為假命題時，$\left\{\begin{array}{l}m≤1\\ m≤-2或m≥2\end{array}\right.$，則m≤-2，
當命題p為假命題，命題q為真命題時，$\left\{\begin{array}{l}m＞1\\-2＜m＜2\end{array}\right.$，則1＜m＜2，
綜上，m≤-2或1＜m＜2．…（14分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數恒成立問題，復合命題，雙曲線的標準方程等知識點，難度中檔．