Question

16．已知點P在x+2y-1=0上，點Q在直線x+2y+3=0上，則線段PQ中點M的軌跡方程是x+2y+1=0；若點M的坐標（x，y）又滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤\frac{x}{3}+2\\ y≤-x+2\end{array}\right.$，則$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意，線段PQ中點M的軌跡與已知直線平行，且距離相等，可得方程；若點M的坐標（x，y）又滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤\frac{x}{3}+2\\ y≤-x+2\end{array}\right.$，則$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值是（0，0）到直線x+2y+1=0的距離．

解答 解：由題意，線段PQ中點M的軌跡與已知直線平行，且距離相等，方程是x+2y+1=0；
若點M的坐標（x，y）又滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤\frac{x}{3}+2\\ y≤-x+2\end{array}\right.$，
則$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值是（0，0）到直線x+2y+1=0的距離，即$\frac{1}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：x+2y+1=0；$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查直線方程，考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．