Question

17．若方程x²-2x+m=0與-2x²+4x+n=0的4個不同的根可以組成一個等差數列，且首項為$\frac{1}{4}$，則mn的值為-$\frac{105}{128}$．

Answer 1

分析 不妨設此等差數列為{a_n}，a₁=$\frac{1}{4}$，公差為d．根據方程x²-2x+m=0與-2x²+4x+n=0的4個不同的根可以組成一個等差數列，可得a₁+a₄=a₂+a₃=2，$\frac{1}{4}{a}_{4}$=m，a₂a₃=-$\frac{n}{2}$．利用等差數列的通項公式可得d，進而得出．

解答 解：不妨設此等差數列為{a_n}，a₁=$\frac{1}{4}$，公差為d．
∵方程x²-2x+m=0與-2x²+4x+n=0的4個不同的根可以組成一個等差數列，
∴a₁+a₄=a₂+a₃=2，$\frac{1}{4}{a}_{4}$=m，a₂a₃=-$\frac{n}{2}$．
則$2×\frac{1}{4}$+3d=2，解得d=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$\frac{1}{4}+（n-1）×\frac{1}{2}$，
∴a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{5}{4}$，a₄=$\frac{7}{4}$．
∴mn=-$\frac{1}{4}{a}_{4}$×2a₂a₃=-$\frac{1}{2}×$$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×$\frac{7}{4}$=-$\frac{105}{128}$．
故答案為：-$\frac{105}{128}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其性質、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．