Question

12．在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，c=4且$\sqrt{3}a=2csinA$，則△ABC面積的最大值為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理可知：a=2RsinA，c=2RsinC，代入$\sqrt{3}a=2csinA$，求得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可知：16=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，求得ab≤16，根據三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$•16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，即可求得△ABC面積的最大值．

解答 解：由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
則a=2RsinA，c=2RsinC，
由$\sqrt{3}a=2csinA$，則$\sqrt{3}$RsinA=4RsinCsinA，
由sinA≠0，則sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC為銳角三角形，
∴C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC得，16=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
∴ab≤16，
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$•16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
△ABC面積的最大值4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦定理與余弦定理的綜合應用，考查基本不等式與三角形面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．