Question

10．如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，DD₁=1．
（1）求證：B₁D₁⊥平面C₁A₁AC；
（2）以D₁為坐標原點建立空間直角坐標系，點O（0，1，0）是圓的圓心，且圓的半徑為1．
（I）過點C₁的直線與圓相切，切點為P，且P的橫坐標x為正，與A₁D₁交與點N，求C₁N長度；
（Ⅱ）在（I）的條件下，圓上有一動點Q，求$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥CC₁，即可證明B₁D₁⊥平面C₁A₁AC；
（2）（I）由題意sin∠OC₁P=$\frac{1}{3}$，即可求C₁N長度；
（Ⅱ）由（I）可知C₁P=2$\sqrt{2}$，sin2∠OC₁P=2×$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，即可求$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$的取值范圍．

解答 （1）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，
∴B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥CC₁，
∵A₁C₁∩CC₁=C₁，
∴B₁D₁⊥平面C₁A₁AC；
（2）（I）解：由題意sin∠OC₁P=$\frac{1}{3}$，
∴cos∠OC₁P=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴C₁N=$\frac{2}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$；
（Ⅱ）由（I）可知C₁P=2$\sqrt{2}$，sin2∠OC₁P=2×$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cos2∠OC₁P=$\frac{7}{9}$，
∴$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$的最小值為$\frac{56}{9}$，最大值為8，
∴$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$的取值范圍是[$\frac{56}{9}$，8]．

點評 本題考查線面垂直，考查平面向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．