Question

2．已知點A（0，-2），B（0，4），動點P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=y²-8．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設（1）中所求軌跡與直線y=x+2交于C，D兩點，設C（ x₁，y₁），D（ x₂，y₂），計算 x₁ x₂，y₁ y₂的值；
（3）求證：OC⊥OD（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （1）把向量數量積轉化為坐標表示即可得出動點P的軌跡方程；
（2）聯立直線方程和拋物線方程，化為關于x的一元二次方程，然后利用韋達定理得答案；
（3）利用向量的數量積為0，即可證明．

解答 解：（1）A（0，-2），B（0，4），
∵動點P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=y²-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y²-8，
∴x²+y²-2y-8=y²-8，化為x²=2y．
∴動點P的軌跡方程為x²=2y；
（2）聯立直線y=x+2與拋物線方程得x²-2x-4=0．
設C（ x₁，y₁），D（ x₂，y₂），則x₁+x₂=2，x₁x₂=-4，
∴y₁ y₂=（x₁+2）（x₂+2）=4；
（3）∵x₁x₂+y₁ y₂=0，∴OC⊥OD（O為坐標原點）．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，考查了軌跡方程，關鍵是利用一元二次方程的根與系數關系解題，是中檔題．