Question

20．給出下列四個命題：
①函數f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點（1，0）；
②已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f（x）=x（x+1），則f（x）的解析式為f（x）=x²-|x|；
③函數y=$\frac{1}{|x|-1}$的圖象可由函數y=$\frac{1}{|x|}$圖象向右平移一個單位得到；
④函數y=$\frac{1}{|x|-1}$圖象上的點到（0，1）距離的最小值是$\sqrt{3}$．
其中所有正確命題的序號是②④．

Answer 1

分析 求出函數f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象所過定點判斷①；求出函數解析式判斷②；由函數的圖象平移判斷③；求出函數y=$\frac{1}{|x|-1}$圖象上的點到（0，1）距離的最小值判斷④．

解答 解：①，令f（x）=log_a（2x-1）-1的真數2x-1=1，可得y=-1，此時x=1，∴函數f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點（1，-1），故①錯誤；
②，設x＞0，則-x＜0，∴f（x）=f（-x）=-x（-x+1）=x²-x，又當x≤0時，f（x）=x（x+1）=x²+x，∴f（x）=x²-|x|，故②正確；
③，把函數y=$\frac{1}{|x|}$圖象向右平移一個單位得到y=$\frac{1}{|x-1|}$的圖象，故③錯誤；
④，y=$\frac{1}{|x|-1}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x-1}，x≥0且x≠1}\\{-\frac{1}{x+1}，x＜0}\end{array}\right.$，其圖象如圖，

當x＞0時，函數y=$\frac{1}{|x|-1}$圖象上的點到（0，1）距離為$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{x-1}-1）^{2}}=\sqrt{（t+1）^{2}+3}≥\sqrt{3}$，
當且僅當x-1-$\frac{1}{x-1}$=-1，即x²-x-1=0，x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時取“=”，故④正確．
故答案為：②④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了函數的圖象平移及性質，是中檔題．