Question

已知x，y都在區間（0，1]內，且xy=

1

3

，若關于x，y的方程

4

4-x

+

3

3-y

-t=0有兩組不同的解（x，y），則實數t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由xy=

1

3

解得y=

1

3x

，代入方程

4

4-x

+

3

3-y

-t=0化為（9t-9）x²+（72-37t）x+4t-4=0，及t＞1．
令f（x）=（9t-9）x²+（72-37t）x+4t-4，x∈（0，1]．由于關于x，y的方程

4

4-x

+

3

3-y

-t=0有兩組不同的解（x，y）．因此函數f（x）在（0，1]內有兩個零點．利用二次函數的有關性質即可得出．

解答：解：由xy=

1

3

解得y=

1

3x

，代入方程

4

4-x

+

3

3-y

-t=0化為（9t-9）x²+（72-37t）x+4t-4=0．
可得t＞1．
令f（x）=（9t-9）x²+（72-37t）x+4t-4，x∈（0，1]．
∵關于x，y的方程

4

4-x

+

3

3-y

-t=0有兩組不同的解（x，y），
∴函數f（x）在（0，1]內有兩個零點．
∴必有

f(0)＞0 f(1)≥0 0＜- 72-37t 2(9t-9) ＜1

及t＞1，解得

72

37

＜t≤

59

24

．
故t的取值范圍是(

72

37

，

59

24

]．
故答案為：(

72

37

，

59

24

]．

點評：本題考查了利用二次函數的零點解決方程的解的問題、考查了問題的轉化能力，考查了分析問題和夾角問題的能力，屬于難題．