Question

【題目】已知等差數列的公差，數列滿足，集合.

（1）若，求集合；

（2）若，求使得集合恰好有兩個元素；

（3）若集合恰好有三個元素：，是不超過7的正整數，求的所有可能的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）根據正弦函數周期性的特點，可知數列周期為，從而得到；（2）恰好有兩個元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次討論的情況，當時，均可得到符合題意的集合；當時，對于，均無法得到符合題意的集合，從而通過討論可知.

（1）， ，，

，，，

由周期性可知，以為周期進行循環

（2），，

恰好有兩個元素

或

即或

或

（3）由恰好有個元素可知：

當時，，集合，符合題意；

當時，，

或

因為為公差的等差數列，故

又，故

當時，如圖取，，符合條件

當時，，

或

因為為公差的等差數列，故

又，故

當時，如圖取，，符合條件

當時，，

或

因為為公差的等差數列，故

又，故

當時，如圖取時，，符合條件

當時，，

或

因為為公差的等差數列，故

又，故

當時，因為對應個正弦值，故必有一個正弦值對應三個點，必然有，即，即，,不符合條件；

當時，因為對應個正弦值，故必有一個正弦值對應三個點，必然有，即，即，不是整數，故不符合條件；

當時，因為對應個正弦值，故必有一個正弦值對應三個點，必然有或

若，即，不是整數，

若，即，不是整數，

故不符合條件；

綜上：