Question

7．已知空間四邊形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，CD=$\sqrt{3}$，若二面角A-BD-C的取值范圍為[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，則該幾何體的外接球表面積的取值范圍為[$\frac{28π}{3}，\frac{76π}{3}$]．

Answer 1

分析 設H為等邊△ADB的中心，DB中點O₁為△BCD外接圓的圓心，
過H作面ABD的垂線，過O₁作面DCB的垂線，兩垂線的交點O為空間四邊形ABCD外接球球心，
過O₁在面DCB內作DB的垂線交△BCD外接圓于E，F，過點O，E，F作圓的截面圓，則點A在其圓周上；
易得∠AO₁E面角A-BD-C的平面角．在Rt△OO₁H中，可得$O{O}_{1}=\frac{{O}_{1}H}{cos∠H{O}_{1}O}$，外接球的半徑R=$\sqrt{O{{O}_{1}}^{2}+{O}_{1}{B}^{2}}$∈[$\sqrt{\frac{7}{3}}$.$\sqrt{\frac{19}{3}}$]，即可求解

解答 解：因為CD²+CB²=DB²，所以△DCB為Rt△，
設H為等邊△ADB的中心，DB中點O₁為△BCD外接圓的圓心，
過H作面ABD的垂線，過O₁作面DCB的垂線，兩垂線的交點O為空間四邊形ABCD外接球球心，
過O₁在面DCB內作DB的垂線交△BCD外接圓于E，F，過點O，E，F作圓的截面圓，則點A在其圓周上；
易得∠AO₁E面角A-BD-C的平面角．
在Rt△OO₁H中，可得$O{O}_{1}=\frac{{O}_{1}H}{cos∠H{O}_{1}O}$
∵二面角A-BD-C的取值范圍為[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，即cos∠HO₁O$∈[\frac{1}{2}，1]$．
∵$H{O}_{1}=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$∴$O{O}_{1}∈[\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}$]
外接球的半徑R=$\sqrt{O{{O}_{1}}^{2}+{O}_{1}{B}^{2}}$∈[$\sqrt{\frac{7}{3}}$.$\sqrt{\frac{19}{3}}$]
則該幾何體的外接球表面積的取值范圍為[$\frac{28π}{3}，\frac{76π}{3}$]
故答案為：[$\frac{28π}{3}，\frac{76π}{3}$]

點評 本題考查了三棱錐的外接球的表面積，解題的關鍵是找到球心，求出半徑，考查了轉化思想、計算能力，屬于中檔題