Question

14．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx，a∈R．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）根據函數的單調區間，求出函數的極大值，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知函數的定義域為（0，+∞），
f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{{ax}^{2}+1}{x}$-----------（1分）
當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；----------（3分）
當a＜0時，令f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，
當x∈（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）時，f′（x）＞0；當x∈（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）時，f′（x）＜0，
所以函數f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）內單調遞增，在（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）內單調遞減．---------（6分）
（Ⅱ）當a≥0時，由（1）可知f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，函數f（x）不可能有兩個零點；-------（8分）
當a＜0時，由（1）得，函數f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）內單調遞增，在（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）內單調遞減，
且當x趨近于0和正無窮大時，f（x）都趨近于負無窮大，故若要使函數f（x）有兩個零點；--------（10分）
則f（x）的極大值f（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）＞0，即$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$ln（-a）＞0，解得-e^-1＜a＜0，
所以a的取值范圍是（-e^-1，0）---------（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．