Question

已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負半軸上，過其上一點P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線方程為y-y₀=2ax₀（x-x₀） （a為常數）．
（1）求拋物線方程；
（2）斜率為k₁的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為k₂的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ=-1），若

BM

=λ

MA

，求證：線段PM的中點在y軸上；
（3）在（2）的條件下，當λ=1，k₁＜0時，若點P的坐標為（1，-1），求：∠PAB為鈍角時，點A的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：導數的綜合應用,向量與圓錐曲線

分析：（1）由題意設出拋物線方程，利用導數求其過點P（x₀，y₀）的切線方程，結合已知的切線方程求得p的值，在拋物線方程可求；
（2）由直線方程的點斜式寫出PA的方程，和拋物線方程聯立，利用根與系數關系得到A點橫坐標，結合k₂+λk₁=0（λ≠0，λ=-1），且

BM

=λ

MA

證得答案；
（3）由λ=1，P（1，-1）求得a=-1，求出A，B的坐標，得到向量

AP

，

AB

的坐標，由∠PAB為鈍角，且P，A，B不共線可得

AP

•

AB

＜0，進一步得到k₁＜-2，或-

1

2

＜k₁＜0．再由點A的縱坐標yA=-(k1+1)2求其范圍．

解答： （1）解：由題意為設拋物線的方程為x²=-2py（p＞0），
∵過點P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線方程為y-y₀=2ax₀（x-x₀），
∴y′|x=x0=-

x0

p

=2ax0，
∴p=-

1

2a

．
則拋物線的方程為y=ax²（a＜0）；
（2）證明：直線PA的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），
由

y=ax2 y-y0=k1(x-x0)

，得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，
∴xA+x0=

k1

a

，xA=

k1

a

-x0．
同理，可得xB=

k2

a

-x0．
∵k₂+λk₁=0，
∴k₂=-λk₁，xB=-

λk1

a

-x0．
又

BM

=λ

MA

（λ≠0，λ≠1），
∴x_M-x₀=λ（x_A-x_M），xM=

λxA+xB

1+λ

．
∴線段PM的中點在y軸上．
（3）解：由λ=1，P（1，-1），可知a=-1，
∴A(-k1-1，-(k1+1)2)，B(k1-1，-(k1-1)2)．
∴

AP

=(2+k1，k12+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)．
∵∠PAB為鈍角，且P，A，B不共線，
∴

AP

•

AB

＜0，
即(2+k1)•2k1+(k12+2k1)•4k1＜0．
∴k1(2k12+5k1+2)＜0．
∵k₁＜0，∴2k12+5k1+2＞0，
∴k₁＜-2，或-

1

2

＜k₁＜0．
又∵點A的縱坐標yA=-(k1+1)2，
∴當k₁＜-2時，y_A＜-1；
當-

1

2

＜k₁＜0時，-1＜y_A＜-

1

4

．
∴∠PAB為鈍角時，點A的縱坐標的取值范圍為(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)．

點評：本題考查了拋物線方程的求法，考查了利用導數求曲線的切線方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用平面向量解決圓錐曲線問題，體現了數學轉化思想方法，考查了計算能力，是壓軸題．