Question

已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和且2＝an＋1，數(shù)列的前n項(xiàng)和,

（1）求;

（2）是否存在最大的整數(shù)t,使得對(duì)任意的正整數(shù)n均有總成立?若存在,求出t;若不存在,請(qǐng)說明理由,

 

Answer 1

（1）an＝2n－1 ， ；（2）存在符合題意．

【解析】

試題分析：（1）利用數(shù)列的前項(xiàng)與通項(xiàng)的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,并進(jìn)而由通項(xiàng)公式求出；

（2）由（1）知，于是可以用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前項(xiàng)和 ．

試題解析：（1）由2＝an＋1，得Sn＝， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝，得a1＝1；

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－，整理，得（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，

∵數(shù)列{an}各項(xiàng)為正，∴an＋an－1>0．∴an－an－1－2＝0．

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴an＝a1＋（n－1）×2＝2n－1．

（2）由（1）知

于是

易知數(shù)列是遞增數(shù)列，故T1=是最小值，只需，即，因此存在符合題意。

考點(diǎn)：1、數(shù)列的概念；2、等差數(shù)列；3、裂項(xiàng)法求數(shù)列的前項(xiàng)和．