Question

11．已知圓中一段弧的長正好等于該圓的外切正三角形的邊長，那么這段弧所對的圓心角的弧度數(shù)為$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑r=1．在△BOD中，$\frac{BC}{2}$=BD=$\frac{OD}{tan30°}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與邊BC相切于點D，其圓心為O點，半徑r=1．
連接OB，則OB平分∠ABC，∴∠OBD=30°．
在△BOD中，$\frac{BC}{2}$=BD=$\frac{OD}{tan30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，
解得BC=2$\sqrt{3}$．
∵圓中一段弧長正好等于該圓的外切正三角形的邊長，
∴這段弧所對的圓心角的弧度數(shù)為2$\sqrt{3}$．
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．