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17.計算下列各式的值.
(1)$\frac{{tan{{53}°}+tan{7°}+tan{{120}°}}}{{tan{{53}°}•tan7{\;}°}}$;
(2)[2sin50°+sin10°(1+$\sqrt{3}tan{10°}$)]$\sqrt{1-cos{{160}°}}$.

分析 (1)利用三角函數的誘導公式及兩角和的正切整理可得tan53°+tan7°+tan120°=$-\sqrt{3}tan53°tan7°$,代入即可得答案;
(2)化切為弦,利用二倍角余弦開方,再由兩角和的正弦化簡得答案.

解答 解:(1)∵tan120°=-tan60°=-tan(53°+7°)=-$\frac{tan53°+tan7°}{1-tan53°tan7°}$,
∴tan120°-tan120°tan53°tan7°=-(tan53°+tan7°),
則tan53°+tan7°+tan120°=$-\sqrt{3}tan53°tan7°$,
∴$\frac{{tan{{53}°}+tan{7°}+tan{{120}°}}}{{tan{{53}°}•tan7{\;}°}}$=$\frac{-\sqrt{3}tan53°tan7°}{tan53°tan7°}$=$-\sqrt{3}$;
(2)[2sin50°+sin10°(1+$\sqrt{3}tan{10°}$)]$\sqrt{1-cos{{160}°}}$
=[2sin50°+sin10°(1+$\frac{\sqrt{3}sin10°}{cos10°}$]•$\sqrt{2si{n}^{2}80°}$
=[2sin50°+sin10°•$\frac{\sqrt{3}sin10°+cos10°}{cos10°}$]•$\sqrt{2}cos10°$
=[2sin50°+sin10°•$\frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2}sin10°+\frac{1}{2}cos10°)}{cos10°}$]•$\sqrt{2}cos10°$
=(2sin50°+sin10°•$\frac{2sin40°}{cos10°}$)•$\sqrt{2}cos10°$
=2$\frac{sin50°cos10°+cos50°sin10°}{cos10°}$$•\sqrt{2}cos10°$
=2$\sqrt{2}$sin60°
=$\sqrt{6}$.

點評 本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用,兩角和公式,同角三角函數基本關系的應用,屬基礎題.

練習冊系列答案
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