Question

8．如圖所示的三棱錐P-ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，PA=4，E，F，G分別為棱PB，BC，AC的中點，點H在棱AP上，AH=1．
   （1）試判斷$\overrightarrow{EG}$與$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{BC}$是否共線；
（2）求空間四面體EFGH的體積．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能推導出$\overrightarrow{EG}$與$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{BC}$共線．
（2）點H在棱AP上，AH=1，得H（0，0，1），利用向量法求出$\overrightarrow{HE}$⊥$\overrightarrow{HF}$，從而S_△HEF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，出平面HEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-1），從而點G到平面HEF的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，由此能求出空間四面體EFGH的體積．

解答 解：（1）∵三棱錐P-ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，
∴以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AB=AC=2，PA=4，E，F，G分別為棱PB，BC，AC的中點，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），E（1，0，2），G（0，1，0），
$\overrightarrow{EG}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-4），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{BC}$=（-2，2，-4）=2（-1，1，-2）=2$\overrightarrow{EG}$，
∴$\overrightarrow{EG}$與$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{BC}$共線．
（2）∵點H在棱AP上，AH=1，∴H（0，0，1），F（1，1，0），
$\overrightarrow{HE}$=（1，0，1），$\overrightarrow{HF}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{HG}$=（0，1，-1），
∵$\overrightarrow{HE}•\overrightarrow{HF}$=1+0-1=0，∴$\overrightarrow{HE}$⊥$\overrightarrow{HF}$，
∴S_△HEF=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{HE}|×|\overrightarrow{HF}|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設平面HEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HE}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HF}=x+y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-1），
點G到平面HEF的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴空間四面體EFGH的體積：
V=V_G-HEF=$\frac{1}{3}×{S}_{△HEF}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{6}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查兩向量是否共線的判斷與證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、考查函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．