Question

17．如圖，AB=38米，從點A發出的光線經水平放置于C處的平面鏡（大小忽略不計）反射后過點B，已知AC=10米，BC=42米．
（1）求光線AC的入射角θ（入射光線AC與法線CK的夾角）的大小；
（2）求點B相對于平面鏡的垂直距離BE與水平距離CE的長．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中利用余弦定理求出cos2θ，即可得出θ的大小；
（2）在△BCE中利用三角函數定義計算．

解答 解：（1）由光的反射定律，∠ACK=∠BCK=θ，∠ACB=2θ．
在△ABC中，根據余弦定理，得$cos∠ACB=cos2θ=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2AC\;•\;BC}$=$\frac{{{{10}^2}+{{42}^2}-{{38}^2}}}{2×10×42}=\frac{1}{2}$．
∵0＜2θ＜π，
∴$2θ=\frac{π}{3}$，$θ=\frac{π}{6}$，
即光線AC的入射角θ的大小為$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）知$∠CBE=∠BCK=θ=\frac{π}{6}$，
∴$BE=BCcos∠CBE=42cos\frac{π}{6}=21\sqrt{3}$（米），$CE=BCsin∠CBE=42sin\frac{π}{6}=21$（米），
即點B相對于平面鏡的垂直距離BE與水平距離CE的長分別為$21\sqrt{3}$米、21米．

點評 本題考查了余弦定理，解三角形的應用，屬于基礎題．