Question

6．若$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個單位向量，且（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$），則|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． 6
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 與（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$），可得（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0．可得：$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{4}$．再利用數量積運算性質即可得出．

解答 解：∵（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$），∴（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=-4${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+3${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$+4$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=-1+4$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=0．
可得：$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{4}$．
則|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{1+4+4×\frac{1}{4}}$=$\sqrt{6}$．
故選：A．

點評 本題考查了向量垂直與數量積的關系、數量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．