Question

18．隨著節假日外出旅游人數增多，倡導文明旅游的同時，生活垃圾處理也面臨新的挑戰，某海濱城市沿海有A，B，C三個旅游景點，在岸邊BC兩地的中點處設有一個垃圾回收站點O（如圖），A，B兩地相距10km，從回收站O觀望A地和B地所成的視角為60°，且${\overrightarrow{OA}^2}+{\overrightarrow{OB}^2}≥4\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，設AC=xkm；
（1）用x分別表示${\overrightarrow{OA}^2}+{\overrightarrow{OB}^2}$和$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，并求出x的取值范圍；
（2）某一時刻太陽與A，C三點在同一直線，此時B地到直線AC的距離為BD，求BD的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據OC=BO，分別在△OAC與△OAB中利用余弦定理，可得x²=OA²+OB²+OA•OB且100=OA²+OB²-OA•OB．兩式聯解即可得出用x表示OA²+OB²、OA•OB的式子，再根據基本不等式與實際問題有意義建立關于x的不等式組，解之即可得到x的取值范圍；
（2）根據AO是△AOB的中線，利用三角形的面積公式算出S_△ABC=2S_△AOB=$\frac{1}{2}$•AC•BD，解出BD=$\frac{\sqrt{3}（{x}^{2}-100）}{2x}$，設BD=f（x），由于f（x）在區間（10，10$\sqrt{3}$]上是增函數，可得當x=10$\sqrt{3}$時，f（x）有最大值，由此可得當AC=10$\sqrt{3}$時BD的最大值為10．

解答 解：（1）在△OAC中，∠AOC=120°，AC=x，
由余弦定理得，OA²+OC²-2OA•OC•cos120°=x²，
又OC=BO，
所以OA²+OB²-2OA•OB•cos120°=x²①
在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°
由余弦定理得，OA²+OB²-2OA•OB•cos60°=100②
①+②得$O{A^2}+O{B^2}=\frac{{{x^2}+100}}{2}$，可得：${\overrightarrow{OA}^2}+{\overrightarrow{OB}^2}$=$\frac{{x}^{2}+100}{2}$，
①-②得4OA•OB•cos60°=x²-100，
又因為：${\overrightarrow{OA}^2}+{\overrightarrow{OB}^2}≥4\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
所以$\frac{{x}^{2}+100}{2}$≥x²-100，即x²≤300，
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{{x}^{2}-100}{4}$＞0，即x²＞100，
所以$10＜x≤10\sqrt{3}$．
（2））∵O是BC的${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•AC•BD$中點，可得S_△OAB=S_△OAC，
故${S_{△ABC}}=2{S_{△OAB}}=2•\frac{1}{2}•OA•OBsin{60^0}=\frac{{\sqrt{3}（{x^2}-100）}}{4}$，
又，
∴$\frac{1}{2}$•x•BD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x²-100），得BD=$\frac{\sqrt{3}（{x}^{2}-100）}{2x}$．
設BD=f（x），
所以$f（x）=\frac{{\sqrt{3}（{x^2}-100）}}{2x}$，$x∈（10，10\sqrt{3}]$，
又$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（x-\frac{100}{x}）$，y=x，$y=-\frac{100}{x}$在$（10，10\sqrt{3}]$上都是增函數；
所以，f（x）在$（10，10\sqrt{3}]$上是增函數，
所以f（x）的最大值為$f（10\sqrt{3}）=10$，即BD的最大值為10．
（利用單調性定義證明f（x）在$（10，10\sqrt{3}]$上是增函數，同樣給滿分；如果直接說出f（x）在$（10，10\sqrt{3}]$上是增函數，但未給出證明或討論，扣1分）

點評 本題給出實際應用問題，求BD的最大值，著重考查了余弦定理、三角形的面積公式、二次函數的單調性等知識，考查了解三角形知識在實際問題中的應用，屬于中檔題．