Question

14．已知函數f（x）是定義在R上的單調函數，對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．若動點P（x，y）滿足等式f（x²+2x+2）+f（2y²+8y+3）=0，則x+y的最大值為$\sqrt{6}$-3．

Answer 1

分析 判斷f（x）的奇偶性，得出x²+2x+2+2y²+8y+3=0，故而P點在某一橢圓上，利用參數法求出x+y的最大值．

解答 解：令x=y=0得f（0）=2f（0），即f（0）=0，
令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）是奇函數，
∵f（x²+2x+2）+f（2y²+8y+3）=0，
∴x²+2x+2+2y²+8y+3=0，即$\frac{（x+1）^{2}}{4}+\frac{（y+2）^{2}}{2}$=1，
設x=2cosα-1，y=$\sqrt{2}$sinα-2，
則x+y=2cosα+$\sqrt{2}$sinα-3=$\sqrt{6}$sin（α+φ）-3，
∴當sin（α+φ）=1時，x+y取得最大值$\sqrt{6}$-3．
故答案為：$\sqrt{6}$-3．

點評 本題考查了奇函數的判斷與性質，函數最值的計算，屬于中檔題．