Question

11．已知ω＞0，平面向量$\overrightarrow{m}$=（2sinωx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos（ωx+$\frac{π}{3}$），1），函數f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的最小正周期是π．
（ I）求f（x）的解析式和對稱軸方程；
（ II）求f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}]$上的值域．

Answer 1

分析 （ I）根據平面向量數量積的運算和三角恒等變換，化簡函數f（x）為正弦型函數，
利用f（x）的最小正周期求出ω的值，寫出函數f（x）的解析式，求出f（x）的對稱軸方程；
（ II）根據x的范圍求出sin（2x+$\frac{π}{3}$）的取值范圍，即可得出f（x）的值域．

解答 解：（ I）向量$\overrightarrow{m}$=（2sinωx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos（ωx+$\frac{π}{3}$），1），
則函數f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=4sinωxcos（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$
=4sinωx（$\frac{1}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx）+$\sqrt{3}$
=2sinωxcosωx-2$\sqrt{3}$sin²ωx+$\sqrt{3}$
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
由ω＞0得f（x）的最小正周期是T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
解得ω=1，
所以函數f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
由2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
（ II）∵$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}]$，
∴2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，
∴$2x+\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，2]，
∴f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}]$上的值域是[-1，2]．

點評 本題考查了平面向量的數量積與三角函數圖象與性質的應用問題，是中檔題．