Question

8．某藥廠在動物體內進行新藥試驗，已知每投放劑量為m（m＞0）的藥劑后，經過x小時該藥劑在動物體內釋放的濃度y（y毫克/升）滿足函數y=mf（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+8，0＜x≤4\\-\frac{x}{2}-{log_2}x+12，4＜x≤16\end{array}$當藥劑在動物體內釋放的濃度不低于12（毫克/升）時，稱為該藥劑達到有效．
（1）為了使在8小時之內（從投放藥劑算起包括8小時）始終有效，求應該投放的藥劑m的最小值；
（2）若m=2，k 為整數，若該藥在k 小時之內始終有效，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的解析式，根據函數的單調性可得關于m的不等式組，解得即可求出m的范圍，問題得以解決，’
（2）由m=2，得到y=2f（x），根據函數的定義域分段討論即可求出．

解答 解：（1）由$y=mf（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{m}{2}{（x-2）^2}+10m，0＜x≤4\\-\frac{mx}{2}-m{log_2}x+12m，4＜x≤16\end{array}\right.$，
可知在區間（0，4]上有，即8m≤y≤10m，
又f（x）在區間（4，16]上單調遞減，mf（8）=5m，
為使y≥12恒成立，只要$\left\{{\begin{array}{l}{8m≥12}\\{5m≥12}\end{array}}\right.$，
即$m≥\frac{12}{5}$，可得$m≥\frac{12}{5}$．
即：為了使在8小時之內達到有效，投放的藥劑劑量m的最小值為$\frac{12}{5}$．
（2）m=2時，設$y=g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x+16，0＜x≤4\\-x-2{log_2}x+24，4＜x≤16\end{array}\right.$
當0＜x≤4時，16≤-x²+4x+16≤20，顯然符合題意，
又f（x）在區間（4，16]上單調遞減，
由g（6）=18-2log₂6=18-log₂36＞12，
g（7）=17-2log₂7=17-log₂49＜12，
可得 k≤6，即k的最大值為6．

點評 本題考查函數在生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，仔細分析數量間的相互關系，合理地進行等價轉化．