Question

曲線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點F恰好是曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點，且曲線C₁與曲線C₂交點連線過點F，則曲線C₂的離心率是

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質,雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先求出拋物線y²=2px（p＞0）的焦點坐標，再利用兩條曲線的交點的連線過F，求出其中一個交點的坐標，最后利用定義求出2a和2c就可求得雙曲線的離心率．

解答： 解：因為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F為（

p

2

，0），
設雙曲線的另一焦點為E．兩曲線的交點為P，Q
因為兩曲線交點經過焦點F，當x=

p

2

時代入拋物線方程得y=±p．
所以P（

p

2

，p），
所以|PF|=p，|PE|=

( p 2 + p 2 )2+p2

=

2

p．
故2a=

2

p-p，2c=p，
∴e=

2c

2a

=

1

2 -1

=

2

+1．
故答案為：

2

+1

點評：本題給出雙曲線的右焦點恰好是拋物線的焦點，并且兩曲線的通徑合在一起，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的定義與簡單幾何性質和拋物線的標準方程等知識點，屬于中檔題．