Question

3．在平面直角坐標系中，已知橢圓兩焦點坐標為F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），橢圓C上的點到右焦點距離最小值為3-2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設斜率為-2的直線交曲線C于E、F兩點，求線段EF的中點N的軌跡方程；
（3）設經過點F₁（-2$\sqrt{2}$，0）的直線與曲線C相交所得的弦為線段PQ，求△PQO的面積的最大值（O是坐標原點）．

Answer 1

分析 （1）由c=2$\sqrt{2}$，a-c=3-2$\sqrt{2}$．a=3，b²=a²-c²=1即可求得橢圓方程；
（2）方法一：設直線方程為y=-2x+t，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式，消去t，即可求得軌跡方程，代入橢圓方程，即可求得x的取值范圍；方法二：利用設而不求法，將E和F坐標代入橢圓方程，作差，根據中點坐標公式，即可求得即可求得軌跡方程，代入橢圓方程，即可求得x的取值范圍；
（3）設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式，根據函數的單調性即可求得△PQO的面積的最大值．

解答 解：（1）橢圓的焦點為${F_1}（-2\sqrt{2}，0），{F_2}（2\sqrt{2}，0）$，c=2$\sqrt{2}$，
由a-c=3-2$\sqrt{2}$．a=3，則b²=a²-c²=1
故曲線C的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（2）方法1：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），設直線方程為y=-2x+t，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，$\frac{37}{9}{x}^{2}$-4tx+t²-1=0，$2x={x_1}+{x_2}=\frac{36}{37}t\;，\;2y={y_1}+{y_2}=-2（{x_1}+{x_2}）+2t=\frac{2}{37}t$，
∴x-18y=0，
$\left\{\begin{array}{l}{x-18y=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，則x²=±$\frac{18\sqrt{37}}{37}$，則-$\frac{18\sqrt{37}}{37}$＜x＜$\frac{18\sqrt{37}}{37}$，
∴線段EF的中點N的軌跡方程是：x-18y=0，-$\frac{18\sqrt{37}}{37}$＜x＜$\frac{18\sqrt{37}}{37}$，
方法2：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
∵A、B在曲線C上，
∴$x_1^2+9y_1^2=9$，$x_2^2+9y_2^2=9$．
將以上兩式相減得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）+9（y₁-y₂）（y₂+y₂）=0，即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{9（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
則-2=-$\frac{x}{9y}$，
∴線段EF的中點N的軌跡方程：x-18y=0，-$\frac{18\sqrt{37}}{37}$＜x＜$\frac{18\sqrt{37}}{37}$；
（3）設直線PQ的方程是：my=x+2$\sqrt{2}$，x=my-2$\sqrt{2}$，
代入$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$得$（{m^2}+9）{y^2}-4\sqrt{2}my-1=0$．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），${y_1}+{y_2}=\frac{{4\sqrt{2}m}}{{{m^2}+9}}$，${y_1}•{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+9}}$，
則$|{y_1}-{y_2}|\;=6\sqrt{\frac{{{m^2}+1}}{{{{（{m^2}+9）}^2}}}}$，
令t=m²+9≥9，$|{y_1}-{y_2}|\;=6\sqrt{\frac{t-8}{t^2}}=6\sqrt{-\frac{8}{t^2}+\frac{1}{t}}=6\sqrt{-8{{（\frac{1}{t}-\frac{1}{16}）}^2}+\frac{8}{{{{16}^2}}}}$，
當t=16，即$m=±\sqrt{7}$時，
∴${（{S_{△OPQ}}）_{max}}=\frac{1}{2}|OF|•|{y_1}-{y_2}|\;=\frac{3}{2}$，
△PQO的面積的最大值為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，軌跡方程的求法，考查函數單調性與橢圓的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．