Question

已知實數，且按某種順序排列成等差數列．
（1）求實數的值；
（2）若等差數列的首項和公差都為，等比數列的首項和公比都為，數列和的前項和分別為，且，求滿足條件的自然數的最大值．

Answer 1

（1）；（2）14

解析試題分析：（1）由按某種順序排列成等差數列，通過分類判斷值的大小得到兩類，再根據等差數列中項的性質，即可得到結論.
（2）由于等差數列的首項和公差都為，等比數列的首項和公比都為，所以分別求出數列，的通項公式.根據通項公式分別求出兩個數列的前n項和的公式.再由求出結論.
（3）解法一：由已知三個數有：，     1分
不妨設排列成遞增的等差數列，則
①依次成等差數列，則有解得，符合題意；   3分
②若依次成等差數列，則有解得，由不符合題意；   5分
綜上得.   6分
解法二：分三種情況討論：
①若為等差中項，則有解得，符合題意；   2分
②若為等差中項，則有解得，由不符合題意；   4分
③若為等差中項，則有，即，方程無解；  6分
綜上得．
（2）解：由（1）知，，   8分
 ，    10分
由已知可得，即,   11分
即，又，故的最大值為14．   12分
考點：1.等差等比數列的通項公式.2.求和公式.3.不等式的交匯.