Question

12．已知f（x）=-cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
（Ⅰ）求函數f（x）的最小值并求函數取得最小值時自變量x的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=-cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
化簡：$f（x）=-\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$
令$2x-\frac{π}{6}=2kπ-\frac{π}{2}，k∈Z$，
解得$x=kπ-\frac{π}{6}，k∈Z$
故當$x∈\left\{{x|x=kπ-\frac{π}{6}，k∈Z}\right\}$時，函數f（x）的最小值為$-\frac{3}{2}$．
（Ⅱ） 令$t=2x-\frac{π}{6}$，函數y=sint的單調增區間為$[-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ]$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
解得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$
∴$y=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$的單調增區間為$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]（k∈Z）$

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．