Question

19．四面體ABCD的各棱長均為2，且四個頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（　　）

• A． 6π
• B． $\sqrt{6}π$
• C． $\frac{3}{2}π$
• D． 24π

Answer 1

分析 把四面體補成正方體，兩者的外接球是同一個，求出正方體的棱長，然后求出正方體的對角線長，就是球的直徑，即可求出表面積．

解答 解：將正四面體補成正方體，設正方體的棱長為a，
則由正四面體的邊長即為正方體的面對角線長，
即有$\sqrt{2}$a=2，則有a=$\sqrt{2}$，
則有正方體的對角線長為：$\sqrt{3}$a=$\sqrt{6}$，
由球的直徑即為正方體的對角線長，即2R=$\sqrt{6}$，
則此球的表面積為：S=4πR²=6π．
故選A．

點評 本題考查空間想象能力，將正四面體的外接球轉化為正方體外接球，使得問題的難度得到降低，問題得到解決，注意正方體的對角線就是球的直徑．