Question

11．F是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點，P為C上一動點，點A坐標為（1，1），則|PA|+|PF|的最小值為（　　）

• A． 4+$\sqrt{5}$
• B． 4-$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設橢圓的左焦點為F'，連接PF'、AF'，根據橢圓的定義得|PA|+|PF|=4+（|PA|-|PF'|），結合圖形可得當P、A、F'三點共線，且P在F'A延長線上時，|PA|-|PF'|取得最小值，利用兩點之間距離公式，則不難求出這個最小值．

解答 解：設橢圓的左焦點為F'，連接PF'、AF'
∵點P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上運動，
∴|PF|+|PF'|=2a=4
由此可得|PA|+|PF|=|PA|+（4-|PF'|）=4+（|PA|-|PF'|）
當P、A、F'三點共線，且P在F'A延長線上時，|PA|-|PF'|取得最小值
∴|PA|-|PF'|的最小值為：-|AF'|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1-0）^{2}}$=-$\sqrt{5}$
由此可得|PA|+|PF|的最大值為4-$\sqrt{5}$
故選：B．

點評 本題給出橢圓內部一點A和橢圓上動點P，求距離之和的最小值，著重考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．